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1 Introduction -- 2 Preliminaries on Lie groups -- 3 Hopf algebras, quantum groups and braided spaces -- 4 Stochastic processes on quantum groups -- 5 Markov structure of quantum Lévy processes -- 6 Diffusions on braided spaces -- 7 Evolution equations and Lévy processes on quantum groups -- 8 Gauss laws in the sense of Bernstein on quantum groups -- 9 Phase retrieval for probability distributions on quantum groups and braided groups -- 10 Limit theorems on quantum groups.