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ger: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie sich entscheiden lässt, ob zwei ganzzahlige Matrizen ähnlich sind. Zu ihrer Beantwortung wird ein modultheoretischer Ansatz verfolgt. Im ersten Teil der Arbeit wird eine Eins-zu-eins-Korrespondenz hergeleitet zwischen Klassen halbeinfacher Matrizen und Klassen von Moduln, die über bestimmten Ordnungen definiert sind. Für zwei solcher Moduln muss anschließend untersucht werden, ob sie isomorph sind. Im Allgemeinen lässt sich dieses Problem mithilfe eines Hauptidealtests lösen, wobei das betreffende Ideal ein Rechtsideal einer typischerweise nicht kommutativen Matrizenordnung ist. Als erste Annäherung wird das Problem über einer Maximalordnung betrachtet. Es ist wohlbekannt, wie sich der Test in dieser Situation durchführen lässt. Bei einem positiven Ergebnis kann in endlich vielen Schritten entschieden werden, ob ursprünglich ein Hauptideal vorlag. Unter geeigneten Bedingungen kann dies mit Methoden für endliche abelsche Gruppen bewerkstelligt werden. Beispielsweise muss das Ideal koprim sein zum Führer einer Erweiterung von Matrizenordnungen. Unter anderem wird gezeigt werden, wie sich gewährleisten lässt, dass diese Bedingung erfüllt ist. Der zweite Teil wird sich mit nilpotenten Elementen von Matrizenordnungen beschäftigen. Zwar wird die enge Verbindung zwischen Matrizen und Moduln in diesem Fall nicht bestehen bleiben, doch wird es genügen, eine endliche Familie von Moduln zu betrachten, um Ähnlichkeit nachzuweisen. Die Kombination der Methoden aus beiden Teilen wird einen vollständigen Algorithmus liefern.
eng: The thesis at hand deals with the question of how to decide whether two integer matrices are similar. To answer it, a module-theoretic approach will be pursued. In the first part of the work, a one-to-one correspondence will be established between classes of semisimple matrices and classes of modules which are defined over certain orders. For two such modules it then has to be examined whether they are isomorphic. In general, this problem can be solved by a principal ideal test, where the ideal concerned is a right ideal of a typically noncommutative matrix order. In a first approximation, the problem will be considered over a maximal order. It is well known how to conduct the test in this situation. Upon a positive outcome, it can be decided in a finite number of steps whether the original ideal is principal. Under suitable conditions, this can be done by methods for finite abelian groups. For instance, the ideal needs to be coprime to the conductor of an extension of matrix orders. Among other things, it will be shown how to ensure that this condition is satisfied. The second part will deal with nilpotent elements of matrix orders. While the close connection between matrices and modules will not persist in this case, it will suffice to consider a finite family of modules to decide similarity. Combining the methods of both parts will result in a complete algorithm.