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On some geometric and group-theoretic properties of Newton stratifications and Ekedahl-Oort stratifications
Erscheinungsjahr
2014
Verknüpfte Titel
Beschreibungen/Notizen
Tag der Verteidigung: 20.03.2014
Paderborn, Univ., Diss., 2014
ger: Die Dissertation besteht aus zwei Teilen, sie leistet Beiträge auf dem Gebiet der arithmetischen algebraischen Geometrie. Übergeordnetes Thema ist der Vergleich der Newton Stratifizierung und der Ekedahl-Oort Stratifizierung. Diese besitzen zum einen geometrische Bedeutung als Stratifizierungen der speziellen Faser des Modells einer Shimuravarietät vom Hodge-Typ an einer Stelle guter Reduktion, zum anderen eine Interpretation als Äquivalenzklassen in einer reduktiven algebraischen Gruppe über einem absolut unverzweigten lokalen Körper. Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir diese gruppentheoretische Realisierung, und nutzen bekannte Techniken und entwickeln neue Methoden zum Vergleich der Stratifizierungen. Hauptresultate sind hier der Vergleich verschiedener bekannter kombinatorischer Kriterien für die Existenz "fundamentaler" Ekedahl-Oort Strata und die Herleitung eines neuen solchen Kriteriums, sowie zwei Resultate, die entscheidend für die Hauptergebnisse des zweiten Teils sind. Im zweiten Teil verallgemeinern wir eine Methode, welche die geometrische und die gruppentheoretische Interpretation der Stratifizierungen miteinander in Verbindung setzt, vom bekannten PEL-Fall auf den allgemeineren Fall einer Shimuravarietät vom Hodge-Typ. Unter Verwendung der Ergebnisse aus dem ersten Teil nutzen wir diese Methode um zwei weitere Hauptresultate zu zeigen: Zum einen beschreiben wir den "-ordinären Ort" der Shimuravarietät und zeigen insbesondere, dass dieser offen und dicht liegt, zum anderen geben wir eine vollständige kombinatorische Beschreibung des Schnittverhaltens zwischen den Stratifizierungen im Fall einer "Hilbert-Blumenthal"-Varietät.
eng: This thesis contributes to several branches of arithmetic algebraic geometry, it is divided into two parts. The main object of study is the comparison of the Newton stratification and the Ekedahl-Oort stratification. On the one hand these stratifications have geometric meaning on the special fiber of the model of a Shimura variety of Hodge type at a place of good reduction, on the other hand they allow an interpretation as equivalence classes in a reductive algebraic group over an absolutely unramified local field. In the first part of the thesis we study this group-theoretic realization and use known techniques and develop new methods to compare the stratifications. The main results here are the comparison of different known combinatorical criteria for the existence of "fundamental" Ekedahl-Oort strata and the development of a new criterion of this kind, further we show two results which are crucial for the main results of part two. In the second part we use a method which connects the geometric and group-theoretic interpretations of the stratifications, we generalize it from the known PEL-case to the more general case of a Shimura variety of Hodge type. We use this method and the results from the first part to show two more main results: Firstly we describe the "-ordinary locus" of the Shimura variety, in particular we show that it is open and dense, secondly we give a complete combinatorial description of the intersection properties between the stratifications in the case of a "Hilbert-Blumenthal" variety.