Details

Autor(en) / Beteiligte

• Weiß, Charlene
• Schmidt, Kai-Uwe[Akademischer Betreuer]
• Storme, Leo[Akademischer Betreuer]
• Wassermann, Alfred[Akademischer Betreuer]
• Rösler, Margit
• Weich, Tobias

Titel

Linear programming bounds in classical association schemes

Ort / Verlag

Paderborn

Erscheinungsjahr

2023

Verknüpfte Titel

Beschreibungen/Notizen

• Tag der Verteidigung: 08.02.2023
• ger: Digitale Kommunikation beruht in hohem Maße auf der Verwendung verschiedener Arten von Codes. Heutzutage wichtige Codes sind Rang-Metrik-Codes und Unterraumcodes - die q-Analoga von binären Codes und binären Codes mit konstantem Gewicht. All diese Codes können als Teilmengen klassischer Assoziationsschemata betrachtet werden. Ein zentrales codierungstheoretisches Problem besteht darin, obere Schranken für die Größe von Codes zu geben. Diese Arbeit untersucht Delsartes mächtiges lineares Optimierungsproblem, dessen Optimum genau eine solche Schranke für Codes in Assoziationsschemata ist. Die linearen Optimierungsprobleme für binäre Codes und binäre Codes mit konstantem Gewicht wurden seit den 1970er Jahren ausgiebig untersucht, aber ihr Optimum ist noch unbekannt. Wir bestimmen auf einheitliche Weise das Optimum des linearen Optimierungsproblems in verschiedenen gewöhnlichen q-Analoga sowie in deren affinen Pendants. Insbesondere werden Schranken und Konstruktionen für Codes in Polarräumen hergeleitet, wobei die Schranken in mehreren Fällen bis auf einen konstanten Faktor optimal sind. Darüber hinaus wird auf der Grundlage dieser Resultate eine fast vollständige Klassifizierung von Steiner-Systemen in Polarräumen gegeben, indem bewiesen wird, dass diese nur in wenigen Spezialfällen existieren könnten.
• eng: Digital communications relies heavily on the usage of different types of codes. Prominent codes nowadays are rank-metric codes and subspace codes - the q-analogs of binary codes and binary codes with constant weight. All these codes can be viewed as subsets of classical association schemes. A central coding-theoretic problem is to derive upper bounds for the size of codes. This thesis investigates Delsartes powerful linear program whose optimum is precisely such a bound for codes in association schemes. The linear programs for binary codes and binary constant-weight codes have been extensively studied since the 1970s, but their optimum is still unknown. We determine in a unified way the optimum of the linear program in several ordinary q-analogs as well as in their affine counterparts. In particular, bounds and constructions for codes in polar spaces are established, where the bounds are sharp up to a constant factor in many cases. Moreover, based on these results, an almost complete classification of Steiner systems in polar spaces is provided by showing that they could only exist in some corner cases.