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ger: Ein zentrales Ziel in der Analyse dynamischer Systeme ist die Charakterisierung des Langzeitverhaltens der Systemzustände. Zu diesem Zwecke interessiert man sich für den sogenannten globalen Attraktor, der eine invariante Menge beschreibt, die alle Trajektorien des zugrunde liegenden dynamischen Systems anzieht. In den letzten 20 Jahren wurden mengenorientierte numerische Verfahren entwickelt, die es erlauben invariante Mengen zu approximieren. Die Idee hierbei ist, die für uns interessanten Objekte, z. B. Attraktoren oder instabile Mannigfaltigkeiten, approximativ mit Boxen zu überdecken. Dies wird mit sogenannten Unterteilungstechniken realisiert. Jedoch sind diese Verfahren bislang nur für endlich-dimensionale dynamische Systeme definiert, z. B. für gewöhnliche Differentialgleichungen. In dieser Arbeit werden die klassischen Techniken auf unendlich-dimensionale Systeme erweitert. Dies erlaubt uns endlich-dimensionale invariante Mengen unendlich-dimensionaler dynamischer Systeme, z. B. von delay- oder partiellen Differentialgleichungen, zu berechnen. Grundlage unserer Erweiterung auf unendlich-dimensionale Systeme wird ein Einbettungsresultat sein, das uns erlaubt ein endlich-dimensionales dynamisches System, das core dynamical system (CDS), im Beobachtungsraum zu konstruieren. Das CDS wird uns erlauben endlich-dimensionale eingebettete Attraktoren oder eingebettete instabile Mannigfaltigkeiten zu approximieren. Des Weiteren werden wir in der Lage sein eingebettete invariante Maße zu berechnen, welche uns eine statistische Beschreibung des dynamischen Verhaltens der zugrunde liegenden unendlich-dimensionalen dynamischen Systeme liefern. Wir präsentieren eine numerische Realisierung des CDS für delay- und partielle Differentialgleichungen sowie Modifikationen für die mengenorientierten Verfahren und veranschaulichen unsere Ansätze in mehreren Beispielen ...
eng: One central goal in the analysis of dynamical systems is the characterization of long term behavior of the system state. To this end, the so-called global attractor is of interest, that is, an invariant set that attracts all the trajectories of the underlying dynamical system. Over the last 20 years so-called set-oriented numerical methods have been developed that allow to compute approximations of invariant sets. The basic idea is to cover the objects of interest, for instance attractors or unstable manifolds, by outer approximations which are created via subdivision techniques. However, the applicability of those techniques is restricted to finite dimensional dynamical systems, i.e., ordinary differential equations or discrete dynamical systems. In this thesis, we extend the set-oriented numerical methods to the infinite dimensional context. With those extensions we will be able to compute finite dimensional invariant sets for infinite dimensional dynamical systems, e.g., for delay and partial differential equations. The idea is to utilize infinite dimensional embedding techniques in our numerical treatment. This will allow us to construct a finite dimensional dynamical system, the core dynamical system (CDS), on an appropriately chosen observation space. Using the CDS, we then can approximate finite dimensional embedded attractors or embedded unstable manifolds. Furthermore, we will be able to compute approximations of the embedded invariant measure in the observation space which gives a statistical description of the dynamical behavior of the infinite dimensional dynamical system. We present numerical realizations of the CDS for delay and partial differential equations and illustrate the efficiency of our approach in several examples. Furthermore, we present modifications for the set-oriented subdivision and continuation method. ...