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Vector bundles and sheaf-theoretic matrix-valued kernel functions
Ort / Verlag
Paderborn
Erscheinungsjahr
2022
Verknüpfte Titel
Beschreibungen/Notizen
Tag der Verteidigung: 04.02.2022
ger: In dieser Arbeit untersuchen wir das Zusammenspiel bestimmter dreifacher Massey-Produkte mit assoziativen rMatrizen und den sogenannten Szegö-Kernen. Im ersten Kapitel wiederholen wir die algebraisch-geometrische Theorie der as-soziativen Yang-Baxter-Gleichung, die diese Identität mit der Untersuchung von Vektorbündeln über Kurven des arithmetischen Geschlecht 1 in Beziehung setzt. Ausgehend von bestimmten Vektorbündeln auf der kubischen Weierstrass-Kurve, berechnen wir im zweiten Kapitel Lösungen der oben genannten Gleichung, die sogenannten assoziativen rMatrizen. Im dritten Kapitel stellen wir Szegö-Kerne vor, beweisen, dass sie schiefsymmetrisch sind, und zeigen, dass sie durch dreifache Massey-Produkte beschrieben werden können, die mit Vektorbündeln über Gorenstein-Kurven assoziiert sind. Darüber hinaus leiten wir zwei Identitäten ab, die solche Kernfunktionen erfüllen müssen, insbesondere sollte die Zweite als eine gar-bentheoretische Version der matrixwertigen Fay Identität betrachtet werden. Im letzten Teil dieser Arbeit wiederholen wir einige Ergebnisse bezüglich Linienbündeln über Riemannschen Flächen und Theta-Funktionen, um als besonderen Fallunserer Identität die trisekante Identität von Fay abzuleiten.
eng: In this thesis we investigate the interplay of certain triple Massey products with associative rmatrices and the so called Szegö kernels. In the first chapter we recall the algebro-geometric theory of the associative Yang-Baxter equation which relates this identity to the study of vector bundles over curves of arithmetic genus one. In the second chapter, starting with certain vector bundles over Weierstrass cubic curve, we compute solutions, the so called associative rmatrices, of the afore mentioned equation. In chapter three we introduce Szegö kernels, we prove that they are skew-symmetric, and we show that they can be described through triple Massey products associated with vector bundles over Gorenstein curves. Moreover, we derive two identities which these kernel functions have to satisfy, in particular the second one should be considered as a sheaf-theoretic version of the matrix-valued Fay's identity. In the final part of this thesis we recall some results regarding line bundles over Riemann surfaces and theta functions in order to deduce, as a particular case of our identity, the Fay's trisecant identity.