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A NEW CHARACTERISATION FOR QUARTIC RESIDUACITY OF $\mathbf {2}
Ist Teil von
Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2022-08, Vol.106 (1), p.1-6
Ort / Verlag
Cambridge, UK: Cambridge University Press
Erscheinungsjahr
2022
Quelle
Alma/SFX Local Collection
Beschreibungen/Notizen
Let p be a prime with
$p\equiv 1\pmod {4}$
. Gauss first proved that
$2$
is a quartic residue modulo p if and only if
$p=x^2+64y^2$
for some
$x,y\in \Bbb Z$
and various expressions for the quartic residue symbol
$(\frac {2}{p})_4$
are known. We give a new characterisation via a permutation, the sign of which is determined by
$(\frac {2}{p})_4$
. The permutation is induced by the rule
$x \mapsto y-x$
on the
$(p-1)/4$
solutions
$(x,y)$
to
$x^2+y^2\equiv 0 \pmod {p}$
satisfying
$1\leq x < y \leq (p-1)/2$
.