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Let
N
be the set of nonnegative integers. For any set
A
⊂
N
, let
R
1
(
A
,
n
)
,
R
2
(
A
,
n
)
and
R
3
(
A
,
n
)
be the number of representations of
n
as
n
=
a
+
a
′
,
a
,
a
′
∈
A
;
n
=
a
+
a
′
,
a
,
a
′
∈
A
,
a
<
a
′
;
n
=
a
+
a
′
,
a
,
a
′
∈
A
,
a
≤
a
′
respectively. In this paper, for each
i
∈
{
2
,
3
}
, we determine the structure of the partition
N
=
A
∪
B
with
A
∩
B
=
∅
such that
R
i
(
A
,
n
)
-
R
i
(
B
,
n
)
=
k
holds for all sufficiently large integers
n
, where
k
is a given integer.