Details

Autor(en) / Beteiligte

• Arnaud, Marie-Claude
• Massetti, Jessica Elisa
• Sorrentino, Alfonso

Titel

On the persistence of periodic tori for symplectic twist maps and the rigidity of integrable twist maps

Ist Teil von

• Advances in mathematics (New York. 1965), 2023-09, Vol.429

Ort / Verlag

Elsevier

Erscheinungsjahr

2023

Quelle

Alma/SFX Local Collection

Beschreibungen/Notizen

• In this article we study the persistence of Lagrangian periodic tori for symplectic twist maps of the $2d$-dimensional annulus and prove a rigidity result for completely integrable ones. More specifically, we consider $1$-parameter families of symplectic twist maps $(f_\varepsilon)_{\varepsilon\in \mathbb{R}}$, obtained by perturbing the generating function of an analytic map $f$ by a family of potentials $\{\varepsilon G\}_{\varepsilon\in \mathbb{R}}$. Firstly, for an analytic $G$ and for $(m,n)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ with $m$ and $n$ coprime, we investigate the topological structure of the set of $\varepsilon\in \mathbb{R}$ for which $f_\varepsilon$ admits a Lagrangian periodic torus of rotation vector $(m,n)$. In particular we prove that, under a suitable non-degeneracy condition on $f$, this set consists of at most finitely many points. Then, we exploit this to deduce a rigidity result for integrable symplectic twist maps, in the case of deformations produced by a $C^2$ potential. Our analysis, which holds in any dimension, is based on a thorough investigation of the geometric and dynamical properties of Lagrangian periodic tori, which we believe is of its own interest. Dans cet article, nous étudions la persistance des tores lagrangiens périodiques des applications twists symplectiques de l'anneau $2d$-dimensionnel et prouvons un résultat de rigidité pour celles qui sont complètement intégrables. Plus précisément, on considère des familles à un paramètre d'applications twists symplectiques $(f_\varepsilon)_{\varepsilon\in \mathbb{R}}$, obtenues en perturbant la fonction génératrice d'une application analytique $f$ à l'aide d'une famille de potentiels $\{\varepsilon G\}_{\varepsilon\in \mathbb{R}}$. Tout d'abord, pour $G$ analytique et $(m,n)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ avec $m$ et $n$ relativement premiers, on étudie la topologie de l'ensemble des $\varepsilon\in \mathbb{R}$ tels que $f_\varepsilon$ a un tore lagrangien périodique de vecteur rotation $(m,n)$. Nous prouvons que sous de bonnes hypothèses de non-degenerescence pour $f$, cet ensemble est fini. On utilise ceci pour en déduire un résultat de rigidité pour les twists symplectiques complètement intégrables, dans le cas de déformations associées à un potentiel de classe $C^2$. Notre analyse, valable en toute dimension, est basée sur une étude poussée des propriétés géométriques et dynamiques des tores lagrangiens périodiques.