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Asymptotic expansions in the conditional central limit theorem
Ist Teil von
Journal of approximation theory, 1990-12, Vol.63 (3), p.273-292
Ort / Verlag
Brugge: Elsevier Inc
Erscheinungsjahr
1990
Link zum Volltext
Quelle
Elsevier Journal Backfiles on ScienceDirect (DFG Nationallizenzen)
Beschreibungen/Notizen
Let
X
n
, n∈
N
, be i.i.d. with mean 0, variance 1, and
E(¦X
n¦
r) < ∞
for some
r ⩾ 3. Assume that Cramér's condition is fulfilled. We prove that the conditional probabilities
P(
1
√n Σ
i = 1
n X
i ⩽ t¦B
)
can be approximated by a modified Edgeworth expansion up to order
o(
1
n
(r − 2)
2)
)
, if the distances of the set
B from the σ-fields
σ(
X
1, …,
X
n
) are of order
O(
1
n
(r − 2)
2)
(
lg n)
β),
where β <
−(r − 2)
2
for
r∉
N
and
β <
−r
2
for
r∈
N
. An example shows that if we replace
β <
−(r − 2)
2
by
β =
−(r − 2)
2
for
r∉
N
(β <
−r
2
by
β =
−r
2
for
r∈
N
) we can only obtain the approximation order
O(
1
n
(r − 2)
2)
)
for
r∉
N
(O(
lg lg
n
n
(r − 2)
2)
)
for
r∈
N
).