Details

Autor(en) / Beteiligte

• Nikitin, Natalie
• Glöckner, Helge[Akademischer Betreuer]
• Hilgert, Joachim[Akademischer Betreuer]

Titel

Regularity properties of infinite-dimensional Lie groups and exponential laws

Ort / Verlag

Paderborn

Erscheinungsjahr

2021

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Beschreibungen/Notizen

• Tag der Verteidigung: 29.01.2021
• ger: Im ersten Teil der Dissertation wiederholen wir den Begriff der Differenzierbarkeit von vektorwertigen Funktionen auf topologischen Gruppen entlang der Einparametergruppen und wir führen den Begriff der $C^{k,l}$-Funktionen auf Produkten von topologischen Gruppen ein. Wir untersuchen die Eigenschaften der $C^k$- und $C^{k,l}$-Funktionen sowie der lokalkonvexen Räume $C^k(G,E)$ und $C^{k,l}(G\times H,E)$. Weiter beweisen wir ein Exponentialgesetz von der Form $C^{k,l}(G\times H,E)\cong C^k(G,C^l(H,E))$, welches unter bestimmten Voraussetzungen an $G$und $H$ gilt. Im zweiten Teil der Arbeit zeigen wir, dass falls $G$ eine lokal exponentielle Liegruppe oder ein direkter Limes bestimmter Liegruppen ist, das obere Differentialkalkül mit dem Differentialkalkül auf $G$ als lokalkonvexe Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Im dritten Teil untersuchen wir Lebesgue-Räume $L^p([a,b],E)$ der Lusin-messbaren vektorwertigen Funktionen und die Vektorräume $AC_{L^p}([a,b],E)$ der entsprechenden absolutstetigen Funktionen. Diese nutzen wir um Liegruppen $AC_{L^p}([a,b],G)$ der absolutstetigen Funktionen mit Werten in einer unendlich-dimensionalen Liegruppe $G$ zu konstruieren. Wir erweitern den Begriff der $L^p$-Regularität von unendlich-dimensionalen Liegruppen, eingeführt von Glöckner, auf diesen Rahmen und passen einige Ergebnisse an.
• eng: In the first part of this thesis, we recall the concept of differentiability of vector-valued functions on topological groups along one-parameter subgroups and introduce a notion of $C^{k,l}$-functions on products of topological groups. We study the properties of $C^k$- and $C^{k,l}$-functions and of the locally convex spaces $C^k(G,E)$ and $C^{k,l}(G\times H,E)$. Further, we prove an exponential law of the form $C^{k,l}(G\times H,E)\cong C^k(G,C^l(H,E))$, which holds under suitable hypotheses on $G$ and $H$. In the second part of the thesis, we show that in cases where $G$ is a locally exponential Lie group or a certain direct limit Lie group the above calculus of $C^k$-functions coincides with the differential calculus on $G$ as a locally convex manifold. In the third part, we discuss Lebesgue spaces $L^p([a,b],E)$ of Lusin-measurable vector-valued functions and the corresponding vector spaces $AC_{L^p}([a,b],E)$ of absolutely continuous functions. These are used to construct Lie groups $AC_{L^p}([a,b],G)$ of absolutely continuous functions with values in an infinite-dimensional Lie group $G$. We extend the notion of $L^p$-regularity of infinite-dimensional Lie groups introduced by Glöckner to this setting and adapt several results and tools.